什么是模糊集呢?模糊集相对于普通集合而言,用隶属度用函数表示,普通集合用特征函数表示。当然,他俩都是在论域下的。
支集(SuppA={x∣x∈U,A(x)>0SuppA=\{x|x\in U,A(x)>0SuppA={x∣x∈U,A(x)>0)是F集合(模糊集,边界不明显的)中所有大于零的元素组成的集合(毕竟F集也是包含0的)
核(KerA={x∣x∈U,A(x)=1KerA=\{x|x\in U,A(x)=1KerA={x∣x∈U,A(x)=1)是F集合中所有等于1的元素组成的集合(普通集了)
如果支集不为空,则称为正规F集,注意幂集记作ψU\psi UψU(实在打不出来,符号超级复杂)
特征函数就是在不在,AAA就是代表特征函数(它取值0~1之间)。
集合数积(乘上一个数λ\lambdaλ),输出0到1,这里λ\lambdaλ就是[0,1][0,1][0,1](0到1之间某一个数),这样λA\lambda AλA就会限制到[0,λ][0,\lambda][0,λ]。
曲线是随便乱画的,凡是出现的曲线属于SuppASuppASuppA,KerAKerAKerA是最高的点。
经典集合的凸集
就是任意两点之间的连线上的所有点都在集合内,这就是凸集。
凸F集的定义是任何中间的隶属度(A(x3)≥min(A(x1),A(x2)),A(x3)=A(x1)∧A(x2)A(x_3)\ge min(A(x_1),A(x_2)),A(x_3)=A(x_1)\wedge A(x_2)A(x3)≥min(A(x1),A(x2)),A(x3)=A(x1)∧A(x2)),都要大于两边元素的隶属度中的小者(对就是小者),反应在曲线上是一个单峰A(x)函数
把实数域上的正规的,凸F集称为正规实模糊数,简称模糊数,即把以某个实数值为核的,凸F集称为F数(F数的本质是凸F集)。F数是一类特殊的F集合,是实数域上的F集合,它的性质和一般F集合完全相同,例如”20岁左右“(20就是A的核,20岁上下的隶属度都小于20岁的1,这是没问题的,这就是凸F集),”1.8m上下“,既可以用F集合表示,也可以用F数表示(例如F数2,F数3,F数20)。靠近程度用隶属度函数表示。隶属度函数输出的是隶属度,一个事实一般有多个隶属函数,这些隶属函数有一部分相交(例如青年,中年,老年)。
模糊集的扩充,例如基本概念扩充法(实际上也是隶属函数集的建立过程),例如:μ极大(u)=μ大2(u)\mu_{极大}(u)=\mu^2_{大}(u)μ极大(u)=μ大2(u)(这实际上是另一个隶属函数了)。这个非常非常好用(老师说的)。注意这是小数,平方后变小了(保留两位就可以了,老师要求就这样) 。最后的隶属值会变小(用离散值举例)。至今为止,确定隶属函数的具体方法大多停留在经验,实践和实验数据上,经常使用的经验方法有以下几种:模糊统计法,二元对比排序法,专家经验法(教授还是吃香的。。。),神经网络法。无论哪种方法,都离不开人的主管参与和客观实际的检验。F集合完全由隶属函数所描述。
模糊函数(向量)的组合
设论域为UUU,如果任何一个xxx,有A(x)=1A(x)=1A(x)=1,则称A为论域UUU上的全集(把年龄想象成离散的,一共1-100岁,这个隶属函数全是1,说明它表示全年龄,这就是这样的全集,A(x)≡1A(x)\equiv 1A(x)≡1),同理,模糊空集为(A(x)≡0A(x)\equiv 0A(x)≡0),F全集与F空集都属于经典集合。
模糊集合还有相等,
包含(均有A(x)≤B(x)A(x)\le B(x)A(x)≤B(x)),
并集(C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)∨B(x)C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)\vee B(x)C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)∨B(x)),
交集(C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)∧B(x)C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)\wedge B(x)C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)∧B(x)),
补集(B(x)=1−A(x)B(x)=1-A(x)B(x)=1−A(x))(实际上是函数(映射关系)的组合)
模糊关系就是两个模糊集之间的关系,也就是两个隶属函数之间的关系。模糊关系可以想象成不同厨师对一道菜色香味的评分。例如好吃与高分的关系,好吃与低分的关系。
模糊关系脱离模糊集而存在。是论域U,VU,VU,V的关系,其实也是U×VU\times VU×V的一个子集,即R⊆U×VR\subseteq U\times VR⊆U×V,对于其中的元素,如果(u,v)∈R(u,v)\in R(u,v)∈R则称uuu与vvv有RRR关系,否则称没有关系。
U→RVU\rightarrow^R VU→RV
所谓直积,就是这个:
A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}
若AAA与BBB有关系RRR,那也是A×BA\times BA×B的子集了。序偶(a,b)(a,b)(a,b)也会有隶属度为μR(a,b)\mu_R(a,b)μR(a,b)。它是一种新的模糊集。
序偶隶属度与普通隶属度的联系在于:
下面是一条模糊规则:
A→B或IFA(u)THENB(v)R=A×B=∫U×Vmin(μA(u),μB(v))/(u,v)A\rightarrow B\quad 或\quad IF\quad A(u) \quad THEN\quad B(v)\\ R=A\times B=\int_{U\times V}min(\mu_A(u),\mu_B(v))/(u,v)A→B或IFA(u)THENB(v)R=A×B=∫U×Vmin(μA(u),μB(v))/(u,v)
那么RRR就是一个模糊矩阵。这时候算法就跟矩阵乘积一样了。笛卡尔乘积就是可以形成序偶。
接下来就是模糊关系与模糊关系的关系,合成:
R1∘R2μR1∘R2(u,w)=∨{μR1(u,v)∧μR2(v,w)}R_1\circ R_2\\ \mu_{R_1\circ R_2}(u,w)=\vee\{\mu_{R_1}(u,v)\wedge \mu_{R_2}(v,w)\}R1∘R2μR1∘R2(u,w)=∨{μR1(u,v)∧μR2(v,w)}
什么意思呢?这是正常的矩阵操作,取大取小跟矩阵一模一样。
R(x,z)=(P∘Q)(x,z)={(x,z)∣∃y,(x,y)∈P,(y,z)∈Q}R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\{(x,z)|\exists y,(x,y)\in P,(y,z)\in Q\}R(x,z)=(P∘Q)(x,z)={(x,z)∣∃y,(x,y)∈P,(y,z)∈Q}
什么叫模糊变换呢?就是一个模糊集(向量)跟一个序偶模糊集(矩阵)相乘,的出来一个向量,这是模糊变换(也是模糊合成的一种)。
A∘R=BA\circ R=BA∘R=B
但在色香味例子中,AAA只是一个权重,RRR是评价矩阵,BBB为总和评价矩阵,反正也是从一个关系转移到另一个关系了。另外最后还需要归一化。
下面说明几种清晰化方案:
模糊集合的截集,说白了,就是绩点。当然,如果连续的模糊集合无限分层,或者大量相差很小的经典集合求并,会成为模糊集合,反之,F集合的截集合可以使F集合转化为经典集合。截集的定义为:
Aλ={x∣x∈U,A(x)≥λ}A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)\ge\lambda\}Aλ={x∣x∈U,A(x)≥λ}
称AλA_\lambdaAλ为A的一个λ\lambdaλ-截集,λ\lambdaλ为阙值或置信水平。
称集合Aλ={x∣x∈U,A(x)>λ}A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)>\lambda\}Aλ={x∣x∈U,A(x)>λ}为F集A的一个λ\lambdaλ-强截集。
λ\lambdaλ-截集与λ\lambdaλ-强截集都属于经典集合,利用数积的概念,任何一个模糊集合A可以看作无限多截集AλA_\lambdaAλ的并(A=∪λ∈[0,1](λAλ)A=\cup_{\lambda\in[0,1]}(\lambda A_\lambda)A=∪λ∈[0,1](λAλ)),这就是模糊集合的分解定理。该定理反映了F集合与经典集合的相互转化的关系。
模糊关系矩阵的截矩阵
关于一个哨兵λ\lambdaλ,超过它就是1,没超过就是0,就这样。
模糊集合转化为数值,挺重要的。这种转换也称为模糊集合的清晰化或反模糊化。
面积中心(重心)法,面积中心法直观合理,言之有据,但计算略显复杂。面积平分法,将隶属函数曲线面积平均分成两半,找这条线,用该值代表该模糊集合。直观合理,计算简便,在模糊控制器中使用较多。最大隶属度法,通常模糊集合并非都是正规的和凸的,隶属函数也并非一条连续直线。因此,用隶属度最大点对应的元素值,代表这个模糊集合是一种简便方法,称为最大隶属度法。但往往有以偏概全之嫌。说不定在多处隶属度都取最大值。这样还要用最大隶属度平均值法,最大隶属度最大值法,最小值法,这就是清晰化。