之前我们讲述了一大堆的积分技巧：
槿灵兮：第十九天（20,11,26）：无理代数分式的积分法
今天我们过渡一下下，开始涉及一点积分的证明题~
我首先想介绍两个基本的定理，可能有些学高数的小伙伴没见过：
积分平均值定理:
如果函数
在闭区间 连续， 在 不变号，并且 在 闭区间 是可积的，则在 上存在一点 ，使得下式成立：
特别地， 当
，有：
积分第一中值定理：
.
证明：因为
在 不变号，不妨设 .
由函数
在闭区间 连续可知：在区间 存在最大值 和最小值 .
则有：
在等式两边同时乘以
，得到： .
同时取积分，得：
若 ，那么 ，上述结论显然成立。 若 ，那么 ，
因为
在闭区间 连续，由介值定理： ，使得
即：
.
关于它的推广：
积分第一中值定理有几种推广形式？
定积分第二中值定理（貌似知乎上涉及到它的内容很少？）：
设函数
在 上可积， 在 上单调，则存在 , 使得： .
证明：令
.
首先需要证明，若函数
在 内可积分，则 在此区间内为一连续函数。
设：
，则：
因
在 上不变号，则由积分第一中值定理知，在 上至少存在一点 ，使得： .
于是，有：
刚刚看到了一张很有利于理解的图：
如果想进一步理解的话可以看@御龙在天S 的回答：
怎样比较直观的理解积分第二中值定理？感觉教科书上的不太好理解
*关于积分不等式的应用：
更多的例题在之后涉及到积分不等式的时候我们会看到~
码字不易，望大家多多支持~
Give me space, time, and logarithms, and I will create a universe. ——
祝君好运~
